Значение словосочетания «порядковое число»

• В теории множеств порядковым числом, или ординалом (лат. ordinalis — порядковый) называется порядковый тип вполне упорядоченного множества. Как правило, порядковые числа отождествляются с наследственно транзитивными множествами. Ординалы представляют собой одно из расширений натуральных чисел, отличающееся как от целых, так и от кардинальных чисел. Как и другие разновидности чисел, их можно складывать, перемножать и возводить в степень. Бесконечные порядковые числа называют трансфинитными (лат. trans — за, через + finitio — край, предел). Ординалы играют ключевую роль в доказательстве многих теорем теории множеств — в частности, благодаря связанному с ними принципу трансфинитной индукции.

  Порядковые числа были введены Георгом Кантором в 1883 году как способ описания бесконечных последовательностей, а также классификации множеств, обладающих определённой упорядоченной структурой. Он случайно открыл порядковые числа, работая над задачей, связанной с тригонометрическими рядами.

  Множества

  S

  {\displaystyle S}

  и

  S

  ′

  {\displaystyle S'}

  обладают одинаковой мощностью, если между ними можно установить биективное соответствие (то есть указать такую функцию

  f

  {\displaystyle f}

  , которая одновременно является инъективной и сюръективной: каждому

  x

  {\displaystyle x}

  из

  S

  {\displaystyle S}

  соответствует единственное

  y

  =

  f

  (

  x

  )

  {\displaystyle y=f(x)}

  из

  S

  ′

  {\displaystyle S'}

  , а каждое

  y

  {\displaystyle y}

  из

  S

  ′

  {\displaystyle S'}

  является образом единственного

  x

  {\displaystyle x}

  из

  S

  {\displaystyle S}

  ).

  Предположим, что на множествах

  S

  {\displaystyle S}

  и

  S

  ′

  {\displaystyle S'}

  заданы частичные порядки

  <

  {\displaystyle <}

  и

  <

  ′

  {\displaystyle <'}

  соответственно. Тогда частично упорядоченные множества

  (

  S

  ,

  <

  )

  {\displaystyle (S,<)}

  и

  (

  S

  ′

  ,

  <

  ′

  )

  {\displaystyle (S',<')}

  называются изоморфными с сохранением порядка, если существует биективное

  f

  {\displaystyle f}

  , при которой заданный порядок сохраняется. Иначе говоря,

  f

  (

  a

  )

  <

  ′

  f

  (

  b

  )

  {\displaystyle f(a)<'f(b)}

  тогда и только тогда, когда

  a

  <

  b

  {\displaystyle a

  . Любое вполне упорядоченное множество

  (

  S

  ,

  <

  )

  {\displaystyle (S,<)}

  изоморфно с сохранением порядка по отношению к естественно упорядоченному множеству порядковых чисел, меньших некоторого определённого ординала (равного порядковому типу

  (

  S

  ,

  <

  )

  {\displaystyle (S,<)}

  ).

  Конечные порядковые (и кардинальные) числа представляют собой числа натурального ряда: 0, 1, 2, …, поскольку два любых полных упорядочения конечного множества изоморфны с сохранением порядка. Наименьшее бесконечно большое порядковое число

  ω

  {\displaystyle \omega }

  отождествляется с кардинальным числом

  ℵ

  0

  {\displaystyle \aleph _{0}}

  . Однако в случае трансфинитных чисел, больших

  ω

  {\displaystyle \omega }

  , ординалы — по сравнению с кардинальными числами — позволяют выразить более тонкую классификацию множеств, основанную на информации об их упорядоченности. В то время как все счетные множества описываются одним кардинальным числом, равным

  ℵ

  0

  {\displaystyle \aleph _{0}}

  , число счетных ординалов бесконечно велико и притом несчетно:

  ω

  ,

  ω

  +

  1

  ,

  ω

  +

  2

  ,

  …

  ,

  ω

  ⋅

  2

  ,

  ω

  ⋅

  2

  +

  1

  ,

  …

  ,

  ω

  2

  ,

  …

  ,

  ω

  3

  ,

  …

  ,

  ω

  ω

  ,

  …

  ,

  ω

  ω

  ω

  ,

  …

  ,

  ε

  0

  ,

  .

  .

  .

  {\displaystyle \omega ,\omega +1,\omega +2,\dots ,\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+1,\dots ,\omega ^{2},\dots ,\omega ^{3},\dots ,\omega ^{\omega },\dots ,\omega ^{\omega ^{\omega }},\dots ,\varepsilon _{0},...}

  В данном случае сложение и умножение не обладают свойством коммутативности: так,

  1

  +

  ω

  {\displaystyle 1+\omega }

  совпадает с

  ω

  {\displaystyle \omega }

  , но отличается от

  ω

  +

  1

  {\displaystyle \omega +1}

  ; аналогично

  2

  ⋅

  ω

  =

  ω

  {\displaystyle 2\cdot \omega =\omega }

  , но не равно

  ω

  ⋅

  2

  {\displaystyle \omega \cdot 2}

  . Множество всех счетных ординалов образует первое несчетное порядковое число

  ω

  1

  {\displaystyle \omega _{1}}

  , соответствующее кардинальному числу

  ℵ

  1

  {\displaystyle \aleph _{1}}

  (следующее число после

  ℵ

  0

  {\displaystyle \aleph _{0}}

  ). Вполне упорядоченные кардинальные числа отождествляются с их начальными ординалами, то есть минимальными ординалами соответствующей мощности. Мощность порядкового числа задает между классами порядковых и кардинальных чисел соответствие по типу «многие к одному».

  Обычно произвольный ординал

  α

  {\displaystyle \alpha }

  определяется как порядковый тип множества ординалов, строго меньших

  α

  {\displaystyle \alpha }

  .

  Данное свойство позволяет представить любое порядковое число в виде множества ординалов, строго меньших его самого.

  Все порядковые числа можно разбить на три категории: нуль, следующее порядковое число и предельное порядковое число (последние различаются своей конфинальностью).

  Для заданного класса порядковых чисел можно указать его

  α

  {\displaystyle \alpha }

  -й элемент — иначе говоря, элементы класса можно проиндексировать (сосчитать).

  Такой класс будет замкнутым и неограниченным при условии, что функция индексирования непрерывна и никогда не останавливается. Нормальная форма Кантора позволяет единственным образом представить любое порядковое число в виде конечной суммы порядковых степеней

  ω

  {\displaystyle \omega }

  .

  Тем не менее, такая форма не может использоваться в качестве основы для универсальной системы обозначения порядковых чисел из-за наличия в ней автореферентных представлений: например,

  ε

  0

  =

  ω

  ε

  0

  {\displaystyle \varepsilon _{0}=\omega ^{\varepsilon _{0}}}

  .

  Можно определять все более крупные порядковые числа, однако по мере роста их описание усложняется. Любое порядковое число можно представить в виде топологического пространства, приписав ему порядковую топологию.

  Такая топология будет дискретной, тогда и только тогда, когда соответствующий ординал не превышает счётного кардинального числа, то есть меньше или равен

  ω

  {\displaystyle \omega }

  .

  Подмножество

  ω

  +

  1

  {\displaystyle \omega +1}

  будет открытым в порядковой топологии тогда и только тогда, когда оно является кофинитным или не содержит

  ω

  {\displaystyle \omega }

  в качестве элемента.

Источник: Википедия